Вопрос школьника
Отрезок AO является диаметром одной окружности и радиусом другой окружности с центром O. Хорда AB второй окружности пересекает первую окружность в точке C. Докажите, что AC = BC.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что AC = BC, нужно воспользоваться свойством хорд, проходящих через точку пересечения двух окружностей.
Пусть радиус первой окружности равен r, а радиус второй окружности равен R. Также пусть точка D — середина отрезка AB.
Так как AO является диаметром первой окружности, то угол AOC прямой. Также угол AOD прямой, так как OD является радиусом второй окружности.
Таким образом, треугольники AOC и BOC являются прямоугольными, а также они имеют общий катет — отрезок OC. Значит, они подобны.
Из подобия треугольников AOC и BOC следует, что соответствующие стороны пропорциональны:
AC/BC = AO/BO = r/R
Так как AO является диаметром первой окружности, то AO = 2r. Также из условия задачи следует, что радиус второй окружности R больше радиуса первой окружности r. Значит, r/R < 1. Таким образом, AC/BC = r/R < 1. Но AC и BC - это длины отрезков, поэтому они не могут быть отрицательными. Значит, AC и BC должны быть равными. Таким образом, доказано, что AC = BC.
