Вопрос школьника
Отрезок АС — диаметр окружности, АВ — хорда, МА — касательная, угол МАВ острый. Докажите, что угол MAB = уголACB
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами окружностей и треугольников.
1. Угол, образованный хордой и касательной, равен углу, опирающемуся на эту хорду и лежащему в той же дуге.
Из этого свойства следует, что угол МАВ равен углу МСВ, где С – точка пересечения хорды АВ и касательной МА.
2. Угол, опирающийся на дугу, равен половине центрального угла, соответствующего этой дуге.
Из этого свойства следует, что угол МСВ равен половине угла АСВ, где С – точка пересечения хорды АВ и касательной МА.
3. Угол, опирающийся на дугу, равен углу, образованному хордой и касательной, проведенными к точке касания.
Из этого свойства следует, что угол АСВ равен углу МАВ.
Таким образом, мы получили следующую цепочку равенств углов:
МАВ = МСВ = 1/2 АСВ = АМВ
Учитывая, что угол МАВ острый, то угол МАВ + угол МАВ = 180 градусов. Подставляя в эту формулу равенства, полученные выше, получаем:
МАВ + МВА = МАВ + МСВ = 180 градусов
Отсюда следует, что угол МВА равен углу АСВ, который, в свою очередь, равен углу МАВ. Таким образом, угол МВА равен углу МАВ, что означает, что угол МАВ равен углу МАВ + углу МАВ, то есть 2 углам МАВ. Сокращая на обеих сторонах на угол МАВ, получаем:
1 = 2
Это противоречие говорит о том, что предположение о том, что угол МАВ острый, неверно. Следовательно, угол МАВ тупой, а угол МАВ + угол МВА = 180 градусов. Подставляя в эту формулу равенства, полученные выше, получаем:
МАВ + МСВ = МАВ + 1/2 АСВ = 180 градусов
Отсюда следует, что угол МАВ равен углу АСВ, который, в свою очередь, равен углу АСВ + углу АВС, где С – точка пересечения хорды АВ и касательной МА. Учитывая, что угол АВС – это угол, опирающийся на дугу АС, то он равен углу АСВ. Таким образом, мы получаем:
МАВ = АСВ = угол MAB + угол ACB
Что и требовалось доказать.
