Вопрос школьника
Отрезок АВ — диаметр окружности радиусом R, точка С лежит на этой окружности так, что угол ABC = 60°. Докажите, что площадь треугольника ABC равна R2 √3 / 2 (рис. 94, в).
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся формулой для площади треугольника: S = 1/2 * a * b * sin(C), где a и b — стороны треугольника, C — угол между ними.
В нашем случае сторона AB является диаметром окружности радиусом R, поэтому ее длина равна 2R. Угол BAC также равен 60°, так как угол вписанной дуги равен углу, соответствующему этой дуге. Таким образом, мы знаем все стороны и углы треугольника ABC.
Применяя формулу для площади треугольника, получаем:
S = 1/2 * AB * BC * sin(60°)
S = 1/2 * 2R * R * sin(60°)
S = R^2 * sin(60°)
Так как sin(60°) = √3 / 2, то
S = R^2 * √3 / 2
Таким образом, мы доказали, что площадь треугольника ABC равна R^2 * √3 / 2.
