Вопрос школьника
Отрезок АВ длины а разделен точками Р и Q на три отрезка АР, PQ и QB так, что АР = 2PQ = 2QB. Найдите расстояние между: а) точкой А и серединой отрезка QB; б) серединами отрезков АР и QB
Ответ от учителя
а) Рассмотрим треугольник АQB. По условию, отрезок АР равен по длине двум отрезкам PQ и QB, то есть АР = 2QB. Также из условия следует, что PQ = QB/2. Обозначим середину отрезка QB как М. Тогда, по свойству серединного перпендикуляра, М является серединой отрезка AB и перпендикулярен ему. Также, по свойству медианы треугольника, М делит отрезок QB пополам. Таким образом, получаем, что АМ является высотой треугольника АQB, а МВ — медианой. Используя теорему Пифагора для треугольника АМВ, получаем:
$AM^2 = AB^2 — BM^2$
$AM^2 = a^2 — (frac{a}{2})^2$
$AM^2 = frac{3a^2}{4}$
$AM = frac{sqrt{3}a}{2}$
Таким образом, расстояние между точкой А и серединой отрезка QB равно $frac{sqrt{3}a}{2}$.
б) Обозначим середину отрезка АР как N. Также, по условию, АР = 2PQ. Обозначим длину отрезка АР как 2x, тогда PQ = x и QB = 2x. Также, по свойству серединного перпендикуляра, N является серединой отрезка AB и перпендикулярен ему. Таким образом, получаем, что АN является высотой треугольника АQB, а NМ — медианой. Используя теорему Пифагора для треугольника АНМ, получаем:
$AN^2 = AM^2 — NM^2$
$AN^2 = (frac{sqrt{3}a}{2})^2 — (frac{x}{2})^2$
$AN^2 = frac{3a^2}{4} — frac{x^2}{4}$
Аналогично, используя теорему Пифагора для треугольника МНВ, получаем:
$BN^2 = BM^2 — NM^2$
$BN^2 = (frac{x}{2})^2 — (frac{sqrt{3}a}{4})^2$
$BN^2 = frac{x^2}{4} — frac{3a^2}{16}$
Таким образом, расстояние между серединами отрезков АР и QB равно:
$AN — BN = sqrt{frac{3a^2}{4} — frac{x^2}{4}} — sqrt{frac{x^2}{4} — frac{3a^2}{16}}$
