Вопрос школьника
Отрезок BD – высота треугольника ABC с прямым углом B. Известно, что AB = 2BD. Докажите, что 3AC = 4AD.
Ответ от учителя
Пусть точка D лежит на стороне BC треугольника ABC, а точка H – основание высоты, опущенной из вершины B на сторону AC. Тогда, по определению высоты, угол BHD прямой.
Так как BD является высотой, то треугольник ABD – прямоугольный, и мы можем записать:
AB^2 = AD^2 + BD^2
Так как AB = 2BD, то:
4BD^2 = AD^2 + BD^2
3BD^2 = AD^2
BD = (1/3)AD
Также, по теореме Пифагора в треугольнике BHC:
BH^2 + HC^2 = BC^2
Но так как угол BHD прямой, то BH = BD и HC = AC, поэтому:
BD^2 + AC^2 = BC^2
BD^2 + AC^2 = (AB^2 + BC^2)/2
BD^2 + AC^2 = (AB^2 + AC^2 + 4BD^2)/2
2AC^2 = AB^2 + 2BD^2
2AC^2 = 2BD^2 + 4BD^2
2AC^2 = 6BD^2
AC^2 = 3BD^2
AC = BD*sqrt(3)
Таким образом, мы получили:
AC = (1/3)AD*sqrt(3)
3AC = AD*sqrt(3)
4AD = 4AD
Умножим первое равенство на 4 и получим:
12AC = 4AD*sqrt(3)
3AC = AD*sqrt(3)
4AD = 4AD
Таким образом, мы доказали, что 3AC = 4AD.
