Вопрос школьника
Отрезок BF — биссектриса прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой АВ. Длина перпендикуляра FD, проведённого к прямой АВ, равна 4 см (рис. 40, а), Вычислите длину отрезка FC.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойствами биссектрисы прямоугольного треугольника. Известно, что биссектриса прямого угла делит гипотенузу на две части, пропорциональные катетам. То есть:
$frac{BF}{AB}=frac{BC}{AC}$
Так как треугольник ABC прямоугольный, то $BC=ABcdotsinangle B$ и $AC=ABcdotcosangle B$. Подставляя это в предыдущее уравнение, получаем:
$frac{BF}{AB}=frac{ABcdotsinangle B}{ABcdotcosangle B}=tanangle B$
Таким образом, мы нашли, что $BF=ABcdottanangle B$.
Далее, обратимся к перпендикуляру FD, проведенному к прямой AB. Он делит треугольник ABC на два подобных треугольника AFD и BFD. Поэтому:
$frac{FD}{AB}=frac{BD}{AF}$
Так как $BD=BF-DF$, то:
$frac{FD}{AB}=frac{BF-DF}{AF}$
Подставляя сюда найденное выше значение для BF, получаем:
$frac{FD}{AB}=frac{ABcdottanangle B-DF}{AF}$
Переносим $DF$ в левую часть и домножаем обе части на $AF$:
$DF=ABcdotfrac{AFcdottanangle B-FD}{AF}$
Так как $AF=AC-FC$, то:
$DF=ABcdotfrac{(AC-FC)cdottanangle B-FD}{AC-FC}$
Переносим $FD$ в правую часть и домножаем обе части на $AC-FC$:
$DFcdot(AC-FC)=ABcdot(ACcdottanangle B-FDcdottanangle B-FDcdot FC)$
Раскрываем тангенс угла B:
$DFcdot(AC-FC)=ABcdot(ACcdotfrac{BC}{AB}-FDcdotfrac{AB}{BC}-FDcdot FC)$
Упрощаем выражение:
$DFcdot(AC-FC)=ABcdot(BCcdot AC-FDcdot AB-FDcdot FCcdot BC)$
Так как треугольник ABC прямоугольный, то $BCcdot AC=AB^2$. Подставляем это и делим обе части на $DF$:
$AC-FC=frac{AB^2-FDcdot AB-FDcdot FCcdot BC}{DFcdot BC}$
Так как $BC=ABcdotsinangle B$ и $FD=4$ см, то:
$AC-FC=frac{AB^2-4cdot ABcdotcosangle Bcdot FC}{4cdot ABcdotsinangle B}$
Делим обе части на $AB$:
$frac{AC}{AB}-frac{FC}{AB}=frac{AB-4cdot FCcdotcosangle B}{4cdot ABcdotsinangle B}$
Так как $frac{AC}{AB}=cosangle B$, то:
$cosangle B-frac{FC}{AB}=frac{AB-4cdot FCcdotcosangle B}{4cdot ABcdotsinangle B}$
Переносим $frac{FC}{AB}$ в левую часть и упрощаем выражение:
$frac{3cdot FC}{AB}=frac{AB}{4cdot ABcdotsinangle B}$
$FC=frac{AB^2}{12cdotsinangle B}$
Так как $AB$ – гипотенуза прямоугольного треугольника, то $AB=sqrt{AC^2+BC^2}=sqrt{AC^2+AB^2cdotsin^2angle B}$. Подставляем это в предыдущее выражение:
$FC=frac{AC^2+AB^2cdotsin^2angle B}{12cdot ABcdotsinangle B}$
Таким образом, мы нашли формулу для вычисления длины отрезка FC через длину катета AC и угол B между гипотенузой и катетом. Ответ зависит от конкретных значений AC и угла B, которые не указаны в условии задачи.
