Вопрос школьника
Отрезок BF — медиана равнобедренного треугольника ABC с основанием АС. Точка D лежит на луче BF так, что BF = FD. Докажите, что четырехугольник ABCD является ромбом.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой угла при вершине. Таким образом, медиана BF является биссектрисой угла ABC.
Так как треугольник ABC равнобедренный, то угол ABC равен углу ACB. Значит, биссектриса угла ABC также является биссектрисой угла ACB. Таким образом, точка D лежит на биссектрисе угла ACB.
Так как BF = FD, то треугольник BFD является равнобедренным, а значит, угол BFD равен углу BDF. Также, угол ABC равен углу ACB, а значит, угол ABD равен углу ACD.
Теперь рассмотрим треугольник ABD. Угол ABD равен углу ACD, а угол BDA равен углу CDA (так как они являются вертикальными). Значит, треугольник ABD подобен треугольнику ACD по признаку угловой биссектрисы.
Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = AC. Также, угол ABD равен углу ACD, а BF является медианой треугольника ABC. Значит, точка D лежит на медиане, проходящей через вершину A. Таким образом, BD = DC.
Итак, мы доказали, что треугольник ABD подобен треугольнику ACD и BD = DC. Значит, четырехугольник ABCD является ромбом, так как у него все стороны равны.
