Вопрос школьника
Отрезок BF — перпендикуляр, проведенный из вершины В прямоугольника ABCD к его диагонали АС. Вычислите длину окружности, описанной около прямоугольника, если BF = 6 см и AF = 4 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойство прямоугольника, согласно которому диагональ делит его на два равных прямоугольника. Обозначим точку пересечения диагонали и отрезка BF как точку E.
Так как BF — перпендикуляр к диагонали, то треугольник BFE прямоугольный. Из условия задачи известны катеты BF = 6 см и AF = 4 см. Найдем гипотенузу треугольника BFE, применив теорему Пифагора:
BE² = BF² + FE²
BE² = 6² + FE²
BE² = 36 + FE²
Также заметим, что треугольник AFE подобен треугольнику BFE, так как угол AFE является прямым, а угол BFE является прямым по определению. Следовательно, отношение сторон треугольников равно отношению соответствующих катетов:
FE/AF = BE/BF
FE/4 = BE/6
FE = 4BE/6
FE = 2BE/3
Подставим это выражение для FE в уравнение для BE²:
BE² = 36 + (2BE/3)²
BE² = 36 + 4BE²/9
9BE² = 324 + 4BE²
5BE² = 324
BE = √(324/5)
BE = 12/√5
Теперь мы можем найти длину диагонали AC, применив теорему Пифагора к треугольнику ABC:
AC² = AB² + BC²
AC² = (BE + AF)² + BC²
AC² = (12/√5 + 4)² + BC²
AC² = 256/5 + 96/√5 + 16 + BC²
Также заметим, что прямоугольник ABCD является описанным, если его диагональ AC является диаметром окружности, проходящей через его вершины. Следовательно, длина окружности, описанной около прямоугольника, равна периметру прямоугольника ABCD:
P = 2(AB + BC)
P = 2(BE + AF + BC)
P = 2(12/√5 + 4 + BC)
Осталось найти длину отрезка BC. Для этого заметим, что треугольник BFC также является прямоугольным, так как угол BFC является прямым по определению. Из этого следует, что BC является гипотенузой треугольника BFC, а BF и FC являются катетами. Из условия задачи известно, что BF = 6 см. Найдем FC, применив теорему Пифагора:
FC² = BC² — BF²
FC² = BC² — 36
Также заметим, что треугольник ACF подобен треугольнику BCF, так как угол ACF является прямым, а угол BCF является прямым по определению. Следовательно, отношение сторон треугольников равно отношению соответствующих катетов:
FC/AF = BC/BF
FC/4 = BC/6
FC = 2BC/3
Подставим это выражение для FC в уравнение для FC²:
FC² = BC² — 36
(2BC/3)² = BC² — 36
4BC²/9 = BC² — 36
5BC² = 324
BC = √(324/5)
Теперь мы можем вычислить периметр прямоугольника ABCD и длину окружности, описанной около него:
P = 2(12/√5 + 4 + √(324/5))
P ≈ 47.6 см
C = P
C ≈ 47.6 см
Ответ: длина окружности, описанной около прямоугольника ABCD, равна примерно 47.6 см.
