Вопрос школьника
Отрезок BK перпендикулярен плоскости треугольника ABC. Вычислите длину этого отрезка, если AK= 13 см, КС = 15 см, а BC — AB = 4 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора и свойства перпендикуляра к плоскости.
Пусть точка K лежит на отрезке AC, и отрезок BK перпендикулярен плоскости треугольника ABC. Обозначим длину отрезка BK как x.
Так как отрезок BK перпендикулярен плоскости треугольника ABC, то он перпендикулярен и к прямой AC. Значит, треугольник ABK прямоугольный, и мы можем применить теорему Пифагора:
AB^2 = AK^2 — BK^2
AC^2 = AK^2 + KC^2
Вычитая из второго уравнения первое, получаем:
AC^2 — AB^2 = KC^2 + BK^2
(BC — AB)^2 — AB^2 = KC^2 + x^2
BC^2 — 2AB*BC = KC^2 + x^2
Заметим, что треугольник BKC также является прямоугольным, так как отрезок BK перпендикулярен к прямой AC. Тогда мы можем применить теорему Пифагора ещё раз:
BC^2 = BK^2 + KC^2
BK^2 = BC^2 — KC^2
Подставляем это выражение в предыдущее уравнение:
BC^2 — 2AB*BC = KC^2 + (BC^2 — KC^2)
2KC^2 = 2AB*BC — BC^2
KC^2 = AB*BC — BC^2/2
Теперь мы можем выразить длину отрезка BK через длины сторон треугольника:
BK^2 = BC^2 — KC^2
BK^2 = BC^2 — (AB*BC — BC^2/2)
BK^2 = BC^2/2 + AB*BC/2
BK = sqrt(BC^2/2 + AB*BC/2)
Подставляем известные значения:
BK = sqrt((15^2)/2 + (4*15)/2) = sqrt(225/2 + 30) = sqrt(255/2) ≈ 11.31 см
Ответ: длина отрезка BK ≈ 11.31 см.
