Вопрос школьника
Отрезок CD — биссектриса треугольника АВС (∠ACB = 90″), AD-BD = 5 см, tgA = 3/4 Найдите площадь треугольника АВС.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойства биссектрисы треугольника. В частности, мы знаем, что биссектриса угла СAB делит сторону BC в отношении длин AC и AB. Таким образом, мы можем записать:
BC/AC = BD/AD
Подставляя известные значения, получаем:
BC/(BC + 5) = 4/3
Отсюда находим длину стороны BC:
BC = 20/3 см
Теперь мы можем найти площадь треугольника ABC, используя формулу для площади треугольника через две стороны и угол между ними:
S(ABC) = 1/2 * AB * BC * sin(C)
Угол C равен 90 градусов, поэтому sin(C) = 1. Подставляя известные значения, получаем:
S(ABC) = 1/2 * AB * 20/3
Осталось найти длину стороны AB. Мы знаем, что CD является биссектрисой угла ACB, поэтому угол ACD равен углу BCD. Также мы знаем, что AD — BD = 5 см. Используя эти данные, мы можем составить систему уравнений:
tg(A) = 3/4 = CD/AD
BD + CD = BC = 20/3
AD — BD = 5
Решая эту систему, находим:
CD = 15/7 см
BD = 25/7 см
AD = 40/7 см
AB = AD + BD = 65/7 см
Подставляя известные значения, получаем:
S(ABC) = 1/2 * 65/7 * 20/3 = 650/21 см^2
Ответ: площадь треугольника АВС равна 650/21 квадратных сантиметров.
