Вопрос школьника
Отрезок CD — перпендикуляр, проведенный к гипотенузе прямоугольного треугольника ABC. Отрезок CD является диаметром окружности, которая на катетах АС и ВС отсекает хорды, длины которых а и b. Найдите площадь треугольника ABC.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник ABC. Пусть катет AC равен x, а катет BC равен y. Тогда гипотенуза AB равна √(x² + y²).
Проведем перпендикуляр CD к гипотенузе AB. Так как CD является диаметром окружности, то точка пересечения перпендикуляра и гипотенузы будет являться центром окружности. Обозначим эту точку как O.
Так как хорды, отсекаемые окружностью на катетах АС и ВС, равны а и b соответственно, то по свойству хорд, проходящих через центр окружности, получаем, что OD = OC = a/2 и OD’ = OC’ = b/2, где D и D’ — точки пересечения окружности с катетами АС и ВС соответственно.
Таким образом, мы получили, что треугольник COD и COD’ являются прямоугольными треугольниками с катетами a/2 и b/2 соответственно.
Теперь рассмотрим треугольник AOC. Он также является прямоугольным треугольником с катетами x и a/2. Из подобия треугольников AOC и ABC получаем, что:
x/(√(x² + y²)) = a/(2r), где r — радиус окружности.
Аналогично, из подобия треугольников BOC и ABC получаем, что:
y/(√(x² + y²)) = b/(2r)
Решая эти уравнения относительно x и y, получаем:
x = 2ar/(√(a² + b²)), y = 2br/(√(a² + b²))
Теперь можем найти площадь треугольника ABC:
S = xy/2 = abr/(a² + b²)
Таким образом, площадь треугольника ABC равна abr/(a² + b²), где a и b — длины хорд, отсекаемых окружностью на катетах АС и ВС соответственно, а r — радиус окружности, проведенной через точки пересечения хорд и центр окружности.
