Вопрос школьника
Отрезок CD — высота треугольника ABC, причем ∠C = 90º, AD = 9 см и DB = 16 см. Найдите sin A и cos A.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти длину стороны AB треугольника ABC, используя теорему Пифагора:
AB² = AC² + BC²
Так как ∠C = 90º, то AC и BC являются катетами прямоугольного треугольника, а AB — его гипотенузой. Из условия задачи известно, что CD является высотой треугольника, то есть перпендикуляром к гипотенузе AB. Поэтому мы можем использовать свойство подобных треугольников: высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на две части, пропорциональные катетам.
Таким образом, мы можем записать:
AD/DB = AC/BC
9/16 = AC/BC
AC = (9/16)BC
Теперь мы можем подставить это выражение в формулу для AB:
AB² = AC² + BC²
AB² = (9/16)²BC² + BC²
AB² = (81/256 + 1)BC²
AB² = (337/256)BC²
AB = BC√(337/256)
AB = (16/16)BC√(337/256)
AB = (4/4)BC√(337/16)
AB = BC√(337)/4
Теперь мы можем найти sin A и cos A, используя соответствующие определения:
sin A = AC/AB = (9/16)BC / (BC√(337)/4) = 9/4√(337)
cos A = BC/AB = BC / (BC√(337)/4) = 4/√(337)
Таким образом, мы получили ответы: sin A = 9/4√(337) и cos A = 4/√(337).
