Вопрос школьника
Отрезок CD – высота треугольника ABC с прямым углом C. Известно, что BC = 2BD. Докажите, что AD = 3BD.
Ответ от учителя
Для начала, построим треугольник ABC с прямым углом C и отрезком CD, являющимся высотой этого треугольника.
Также, по условию задачи, известно, что BC = 2BD.
Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD. По теореме Пифагора:
BD^2 + CD^2 = BC^2
Заменим значение BC на 2BD:
BD^2 + CD^2 = (2BD)^2
BD^2 + CD^2 = 4BD^2
CD^2 = 3BD^2
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. По теореме Пифагора:
AD^2 + CD^2 = AC^2
Заменим значение CD на 3BD (полученное выше):
AD^2 + (3BD)^2 = AC^2
AD^2 + 9BD^2 = AC^2
Также, по теореме Пифагора для треугольника ABC:
AC^2 = AB^2 + BC^2
Заменим значение BC на 2BD:
AC^2 = AB^2 + (2BD)^2
AC^2 = AB^2 + 4BD^2
Теперь подставим это выражение в предыдущее:
AD^2 + 9BD^2 = AB^2 + 4BD^2
AD^2 = AB^2 — 5BD^2
Таким образом, мы получили выражение для квадрата длины отрезка AD через квадрат длины отрезка BD и квадрат длины стороны AB треугольника ABC.
Для доказательства того, что AD = 3BD, нам нужно показать, что AB = 2BD.
Для этого рассмотрим треугольник ABD. По теореме Пифагора:
AB^2 = AD^2 + BD^2
Заменим значение AD^2 на выражение, полученное выше:
AB^2 = (AB^2 — 5BD^2) + BD^2
AB^2 = AB^2 — 4BD^2
4BD^2 = 0
Таким образом, мы получили, что BD = 0, что является невозможным. Следовательно, наше предположение о том, что AD = 3BD, верно.
