Вопрос школьника
Отрезок CF — высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника АСВ (рис.105, б). а) Докажите, что треугольник BFC подобен треугольнику ВСА. б) Верно ли, что треугольник AFC подобен треугольнику АСВ?
Ответ от учителя
Для начала рассмотрим треугольник АСВ. Он является прямоугольным, поэтому у него есть высота, проведенная из вершины прямого угла С. Обозначим точку пересечения этой высоты с гипотенузой ВС как D.
Так как треугольник АСВ прямоугольный, то по теореме Пифагора имеем:
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
$AB^2 + CD^2 + BD^2 = AC^2$
$BD^2 = AC^2 — CD^2 — AB^2$
$BD = sqrt{AC^2 — CD^2 — AB^2}$
Теперь рассмотрим треугольник BFC. Он также прямоугольный, и высота CF является его биссектрисой. Обозначим точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой ВС как E.
Так как точки D, F и C лежат на одной прямой (все они лежат на гипотенузе ВС), то по теореме о биссектрисе имеем:
$frac{BE}{EC} = frac{BF}{FC}$
$frac{BE}{EC} = frac{AB}{AC-AB}$
$frac{BE}{EC} = frac{AB}{BD}$
$BE = frac{AB cdot EC}{BD}$
Также заметим, что треугольник BFC подобен треугольнику ВСА по двум углам: угол BFC равен углу ВСА (они оба прямые), а угол CBF равен углу САВ (они оба прямые).
Теперь перейдем к второй части вопроса. Нам нужно проверить, что треугольник AFC подобен треугольнику АСВ.
Рассмотрим треугольник AFC. Он также прямоугольный, и высота CF является его биссектрисой. Обозначим точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой АВ как G.
Так как точки D, G и C лежат на одной прямой (все они лежат на гипотенузе АВ), то по теореме о биссектрисе имеем:
$frac{AG}{GB} = frac{AF}{FB}$
$frac{AG}{GB} = frac{AC-AB}{AB}$
$frac{AG}{GB} = frac{BD}{AB}$
$AG = frac{BD cdot AB}{GB}$
Теперь заметим, что треугольник AFC подобен треугольнику АСВ по двум углам: угол AFC равен углу АСВ (они оба прямые), а угол ACF равен углу AVS (они оба прямые).
Таким образом, мы доказали, что треугольник BFC подобен треугольнику ВСА, но не можем утверждать, что треугольник AFC подобен треугольнику АСВ.
