Вопрос школьника
Отрезок CF — высота, проведенная из вершины С прямого угла треугольника ABC. Вычислите длины катетов данного треугольника, если CF = 6 см, АВ = 13 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Обозначим катеты треугольника ABC через a и b, а гипотенузу через c. Так как CF — высота, проведенная из вершины С прямого угла, то треугольник CFB также является прямоугольным. Поэтому мы можем записать:
$CF^2 + FB^2 = CB^2$
Заметим, что FB является катетом треугольника ABC, а CB — гипотенузой. Поэтому мы можем записать:
$a^2 + 6^2 = c^2$
Также мы знаем, что АВ = 13 см, то есть:
$a + b = 13$
Мы можем выразить b через a:
$b = 13 — a$
Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника ABC:
$a^2 + b^2 = c^2$
Подставим выражение для b:
$a^2 + (13 — a)^2 = c^2$
Раскроем скобки и упростим:
$2a^2 — 26a + 169 = c^2$
Теперь мы можем подставить выражение для c^2 из первого уравнения:
$2a^2 — 26a + 169 = a^2 + 36$
Решим полученное квадратное уравнение:
$a^2 — 26a + 133 = 0$
Найдем корни этого уравнения:
$a_1 = 7$
$a_2 = 19$
Так как a + b = 13, то мы можем выбрать только один из этих корней. Выберем a = 7, тогда b = 6. Таким образом, длины катетов треугольника ABC равны 7 см и 6 см.
