Вопрос школьника
Отрезок CF — высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника АСВ. Докажите, что угол CAB = углу FCB.
Ответ от учителя
Для доказательства равенства углов CAB и FCB воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и треугольника, в котором проведена высота.
Из свойств прямоугольного треугольника АСВ известно, что угол CAB является прямым углом, так как он лежит на гипотенузе. Также известно, что угол CAV является прямым углом, так как он лежит на второй стороне прямоугольного треугольника.
Из свойств треугольника CFB известно, что угол FCB является прямым углом, так как он лежит на высоте, проведенной к гипотенузе. Также известно, что угол CFB равен углу BCF, так как треугольник CFB является прямоугольным.
Таким образом, имеем следующую цепочку равенств углов:
CAB = 90° = CAV + VAB
FCB = 90° = BCF + CFB
Сложив эти равенства, получим:
CAB + FCB = CAV + VAB + BCF + CFB
Учитывая, что углы VAB и BCF являются смежными, то их сумма равна углу ACB:
CAB + FCB = CAV + ACB + CFB
Так как угол CAV равен углу ACB (они оба являются прямыми), то получаем:
CAB + FCB = ACB + CFB
Вычитая из обеих частей равенства угол CFB, получим:
CAB = ACB
Таким образом, мы доказали, что угол CAB равен углу FCB.
