Вопрос школьника
Отрезок CH — высота прямоугольного треугольника ABC, проведенная к гипотенузе. Докажите, что BH * AC2 = AH * BC2.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABC:
AC^2 = AB^2 + BC^2
Также заметим, что треугольники ABC и CHB подобны, так как у них углы при вершине C равны (по свойству прямоугольного треугольника), а угол при вершине B общий. Значит, отношение соответствующих сторон этих треугольников равно:
BC / AC = CH / BH
Отсюда можно выразить CH и BH через BC и AC:
CH = BC * (CH / BH) = BC * (AC / BC) = AC
BH = AC * (BH / CH) = AC * (BC / AC) = BC
Теперь подставим найденные значения CH и BH в исходное уравнение:
BH * AC^2 = AH * BC^2
BC * AC * AC = AH * BC * BC
AC^2 = AH * BC
Таким образом, мы доказали, что BH * AC^2 = AH * BC^2.
