Вопрос школьника
Отрезок CP — высота, проведенная к основанию АВ равнобедренного треугольника АВС, точка F лежит на стороне ВС и BF: FC =1:3. Отрезки CP и AF пересекаются в точке О. В каком отношении точка О делит отрезок AF, считая от вершины А?
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник АВС. Так как он равнобедренный, то высота CP является биссектрисой угла ВСА. Значит, точка О делит сторону ВС на отрезки, пропорциональные боковым сторонам треугольника АВС. То есть, если обозначить длину стороны АВ как а, а стороны ВС как b, то:
BF : FC = AB : AC = a : a = 1 : 1
Таким образом, BF = FC = b/4.
Теперь рассмотрим треугольник АОС. По теореме Менелая для треугольника АФС и прямой ОС, имеем:
(AB/BC) * (CF/FS) * (SO/OA) = 1
Заменяем известные значения:
(a/b) * (1/3) * (SO/OA) = 1
Отсюда находим:
SO/OA = b/(3a)
Таким образом, точка О делит отрезок AF в отношении:
AO : OF = SO : OF = b : 3a — b
Ответ: точка О делит отрезок AF в отношении b : 3a — b, считая от вершины А.
