Вопрос школьника
Отрезок GA — биссектриса треугольника FGH. Найдите:
а) отрезки FA и AH, учитывая, что FG = 12 см, GH = 18 см, FH = 24 см;
б) сторону GH, учитывая, что FA:АН= 7 : 5 и FG = 21 м;
в) сторону FH, учитывая, что FG : GH = 3 : 7 и AH -AF = 4 см.
Ответ от учителя
а) Так как отрезок GA является биссектрисой треугольника FGH, то мы можем использовать теорему биссектрисы, которая гласит, что отрезок, являющийся биссектрисой угла, делит противолежащую сторону в отношении длин двух других сторон, пропорциональных этим длинам. Таким образом, мы можем записать:
$frac{FA}{FH} = frac{FG}{GH}$
Подставляя известные значения, получаем:
$frac{FA}{24} = frac{12}{18}$
Отсюда находим:
$FA = frac{12}{18} cdot 24 = 16$ см
Аналогично:
$frac{AH}{24} = frac{18}{12}$
$AH = frac{18}{12} cdot 24 = 36$ см
б) Из условия задачи мы знаем, что:
$frac{FA}{AH} = frac{7}{5}$
Также нам дано, что $FG = 21$ м. Мы можем использовать теорему биссектрисы, чтобы найти отрезок GA:
$frac{GA}{GH} = frac{FG}{FH — GH}$
Подставляя известные значения, получаем:
$frac{GA}{GH} = frac{21}{24 — 18} = frac{21}{6} = 3.5$
Отсюда находим:
$GA = 3.5 cdot GH = 3.5 cdot 18 = 63$ см
Теперь мы можем найти отрезки FA и AH:
$FA = frac{7}{7+5} cdot GA = frac{7}{12} cdot 63 = 36.75$ см
$AH = frac{5}{7+5} cdot GA = frac{5}{12} cdot 63 = 26.25$ см
Ответ: сторона GH равна 18 м, сторона FH равна 24 см, отрезки FA и AH равны соответственно 36.75 см и 26.25 см.
в) Из условия задачи мы знаем, что:
$FG : GH = 3 : 7$
$AH — FA = 4$
Мы можем использовать теорему биссектрисы, чтобы найти отрезок GA:
$frac{GA}{GH} = frac{FG}{FH — GH}$
Подставляя известные значения, получаем:
$frac{GA}{GH} = frac{3}{7} cdot frac{FH — GH}{FH}$
$frac{GA}{GH} = frac{3}{7} cdot frac{FH}{FH} — frac{3}{7} cdot frac{GH}{FH}$
$frac{GA}{GH} = frac{3}{7} — frac{3}{7} cdot frac{GH}{FH}$
$frac{GA}{GH} = frac{3}{7} — frac{3}{7} cdot frac{1}{frac{FG}{GH} + 1}$
$frac{GA}{GH} = frac{3}{7} — frac{3}{7} cdot frac{1}{frac{3}{7} + 1}$
$frac{GA}{GH} = frac{3}{7} — frac{3}{28} = frac{69}{196}$
Отсюда находим:
$GA = frac{69}{196} cdot GH$
Также мы можем выразить отрезки FA и AH через GH:
$FA = frac{3}{10} cdot GH$
$AH = frac{7}{10} cdot GH + 4$
Теперь мы можем выразить FH через GH:
$FH = FG + GH = frac{3}{7} cdot GH + GH = frac{10}{7} cdot GH$
Подставляя все известные значения, получаем:
$GA = frac{69}{196} cdot GH$
$FA = frac{3}{10} cdot GH$
$AH = frac{7}{10} cdot GH + 4$
$FH = frac{10}{7} cdot GH$
$GH + FA + AH = FH$
$GH + frac{3}{10} cdot GH + frac{7}{10} cdot GH + 4 = frac{10}{7} cdot GH$
$GH = 28$
Отсюда находим:
$FH = frac{10}{7} cdot GH = frac{10}{7} cdot 28 = 40$ см
Ответ: сторона GH равна 28 см, сторона FH равна 40 см.
