Вопрос школьника
Отрезок MA перпендикулярен плоскости треугольника ABC, точка O — точка пересечения его медиан. На отрезке MK (точка K — середина отрезка BC) взята точка P такая, что МР : РК = 2 : 1. а) Чему равен угол между прямыми OP и BC? б) Верно ли, что прямые AB и PO перпендикулярны?
Ответ от учителя
а) Поскольку отрезок $MA$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$, то он перпендикулярен и к прямой $BC$. Также известно, что точка $O$ является точкой пересечения медиан треугольника $ABC$, а значит, она делит медиану $MK$ в отношении $2:1$. То есть, $OM:MP=2:1$.
Рассмотрим треугольник $OMP$. Поскольку $OMperp MP$, то угол $OMP$ является прямым. Также, поскольку $OM:MP=2:1$, то угол $OMP$ равен углу $MOK$, где $K$ — середина отрезка $BC$.
Таким образом, угол между прямыми $OP$ и $BC$ равен углу $MOK$.
б) Прямые $AB$ и $PO$ не обязательно перпендикулярны. Рассмотрим пример:
[![enter image description here][1]][1]
На рисунке прямые $AB$ и $PO$ не перпендикулярны, но выполняются все условия задачи.
[1]: https://i.stack.imgur.com/5JZJL.png
