Вопрос школьника
Отрезок РК не пересекает прямую а. Из его концов и середины В проведены перпендикуляры РР1 КК1 и ВВ1 к прямой а. Найдите ВВ1, если РР1 = 8, КК1 = 16.
Ответ от учителя
Пусть точка M — середина отрезка РК. Тогда, так как отрезок РК не пересекает прямую а, то точки Р, К и В лежат по одну сторону от нее.
Также заметим, что треугольники РР1М и КК1М являются прямоугольными, так как РР1 и КК1 — перпендикуляры к прямой а, а М — середина отрезка РК.
Тогда, по теореме Пифагора, имеем:
РМ² = РР1² — ММ1²
КМ² = КК1² — ММ1²
где ММ1 — высота треугольника РР1М и КК1М, опущенная на гипотенузу.
Так как РР1 = 8 и КК1 = 16, то:
РМ² = 8² — ММ1²
КМ² = 16² — ММ1²
Сложим эти уравнения:
РМ² + КМ² = 8² + 16² — 2ММ1²
РМ² + КМ² = 320 — 2ММ1²
ММ1² = (РМ² + КМ² — 320) / (-2)
Теперь рассмотрим треугольник ВВ1М. Он также является прямоугольным, так как ВВ1 — перпендикуляр к прямой а, а М — середина отрезка РК.
Тогда, по теореме Пифагора, имеем:
ВВ1² = ВМ² + ММ1²
где ВМ — высота треугольника ВВ1М, опущенная на гипотенузу.
Так как ВМ = РМ = КМ (так как М — середина отрезка РК), то:
ВВ1² = РМ² + ММ1²
ВВ1² = КМ² + ММ1²
Сложим эти уравнения:
2ВВ1² = РМ² + КМ² + 2ММ1²
2ВВ1² = 8² + 16² + 2((РМ² + КМ² — 320) / (-2))
2ВВ1² = 320 — (РМ² + КМ²)
2ВВ1² = 320 — (8² + 16²)
2ВВ1² = 320 — 320
2ВВ1² = 0
ВВ1 = 0
Таким образом, получаем, что высота треугольника ВВ1М равна нулю, то есть точка В1 лежит на прямой а.
