Вопрос школьника
Отрезок СБ — биссектриса треугольника АВС, в котором А А — а, А В — b. Через точку Б проведена прямая, параллельная стороне ВС и пересекающая сторону АС в точке Е, причем АЕ ~ а. Найдите СЕ
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойством биссектрисы треугольника: она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника. То есть, если СБ является биссектрисой угла ВСА, то:
$frac{SB}{SA}=frac{BC}{AC}$
Заметим, что треугольник АВС подобен треугольнику АЕС, так как углы при вершине А равны (они соответственные), а углы при вершине С равны (они соответственные). Также, мы знаем, что АЕ ~ а, то есть отношение сторон АЕ и АС равно отношению сторон а и b:
$frac{AE}{AC}=frac{a}{b}$
Отсюда можно выразить AC через AE:
$AC=frac{b}{a}AE$
Подставим это выражение в формулу для биссектрисы:
$frac{SB}{SA}=frac{BC}{AC}=frac{BC}{frac{b}{a}AE}=frac{a}{b} cdot frac{BC}{AE}$
Теперь заметим, что BC параллельна ЕС, поэтому углы СЕВ и ВСА равны (они соответственные). Тогда треугольники СЕВ и ВСА подобны, и мы можем записать:
$frac{BC}{AE}=frac{EV}{AV}=frac{EV}{b}$
Подставим это выражение в предыдущее:
$frac{SB}{SA}=frac{a}{b} cdot frac{EV}{b}$
Теперь заметим, что СЕ и ВЕ являются высотами треугольника СЕВ, поэтому:
$SE^2+EV^2=SV^2$
Но мы знаем, что СВ = SA + AV = b + EV, а также выразили отношение SB/SA через EV/b. Подставим это в предыдущее выражение:
$SE^2+EV^2=(b+EV)^2 cdot frac{a^2}{b^2}$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$SE^2+EV^2=b^2 cdot frac{a^2}{b^2} + 2bEV cdot frac{a^2}{b^2} + EV^2 cdot frac{a^2}{b^2}$
$SE^2=(a^2+b^2) cdot frac{EV^2}{b^2} + 2aEV$
Теперь можем выразить СЕ через EV:
$SE=sqrt{(a^2+b^2) cdot frac{EV^2}{b^2} + 2aEV}$
Осталось найти EV. Для этого воспользуемся теоремой Талеса для треугольника АЕС и прямой, параллельной ВС:
$frac{EV}{AE}=frac{EC}{AC}=frac{EC}{frac{b}{a}AE}=frac{EC}{b} cdot frac{a}{AE}$
Но мы знаем, что СВ = SA + AV = b + EV, а также выразили отношение AE/AC через a/b. Подставим это в предыдущее выражение:
$frac{EV}{AE}=frac{EC}{b} cdot frac{a}{AE}=frac{EC}{b} cdot frac{a}{frac{b}{a}EC}=frac{a^2}{b^2}EC$
Теперь можем выразить EV через EC:
$EV=frac{a^2}{b^2}EC cdot AE$
Но мы знаем, что АЕ ~ а, то есть AE = a. Подставим это выражение в предыдущее:
$EV=frac{a^3}{b^2}EC$
Теперь можем выразить СЕ через EC:
$SE=sqrt{(a^2+b^2) cdot frac{a^2}{b^4}EC^2 + 2a cdot frac{a^3}{b^2}EC}$
$SE=sqrt{frac{a^4+b^2a^2}{b^4}EC^2 + frac{2a^4}{b^2}EC}$
$SE=sqrt{frac{a^2}{b^2}(a^2+b^2)EC^2 + frac{2a^4}{b^2}EC}$
$SE=sqrt{frac{a^2}{b^2}(a^2+b^2) + frac{2a^2}{b^2}}EC$
$SE=sqrt{frac{a^2(a^2+2b^2)}{b^2}}EC$
$SE=frac{a}{b}sqrt{a^2+2b^2}EC$
Таким образом, мы получили выражение для СЕ через EC. Осталось только найти EC. Для этого заметим, что треугольник АЕС подобен треугольнику АВС, поэтому:
$frac{EC}{AC}=frac{b}{a+b}$
Отсюда можно выразить AC через EC:
$AC=frac{a+b}{b}EC$
Подставим это выражение в формулу для биссектрисы:
$frac{SB}{SA}=frac{BC}{AC}=frac{BC}{frac{a+b}{b}EC}=frac{b}{a+b} cdot frac{BC}{EC}$
Но мы знаем, что BC параллельна ЕС, поэтому углы СЕВ и ВСА равны (они соответственные). Тогда треугольники СЕВ и ВСА подобны, и мы можем записать:
$frac{BC}{EC}=frac{EV}{AV}=frac{EV}{a+b}$
Подставим это выражение в предыдущее:
$frac{SB}{SA}=frac{b}{a+b} cdot frac{EV}{a+b}$
Теперь можем выразить EC через EV:
$frac{EV}{a+b}=frac{SB}{SA} cdot frac{a+b}{b}$
$EV=frac{SB}{SA} cdot frac{a+b}{b} cdot (a+b)$
$EV=frac{SB}{SA} cdot (a+b)^2 cdot frac{1}{b}$
Подставим это выражение в формулу для СЕ:
$SE=frac{a}{b}sqrt{a^2+2b^2}EC=frac{a}{b}sqrt{a^2+2b^2} cdot frac{a+b}{b}EV$
$SE=frac{a}{b}sqrt{a^2+2b^2} cdot frac{a+b}{b} cdot frac{SB}{SA} cdot (a+b)$
$SE=frac{a(a+b)}{b^2}sqrt{a^2+2b^2} cdot frac{SB}{SA} cdot (a+b)$
Таким образом, мы получили выражение для СЕ через стороны треугольника АВС и отношение SB/SA. Ответ зависит от конкретных значений a и b, а также от отношения SB/SA.
