Вопрос школьника
Отрезок SO — перпендикуляр, проведенный из точки S к плоскости, в которой лежит треугольник ABC. Известно, что SA = SB = SC. Докажите, что точка O есть центр окружности, описанной около треугольника ABC.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что точка O лежит на пересечении трех высот треугольника ABC, так как перпендикуляр, проведенный из точки S к плоскости, в которой лежит треугольник ABC, пересекает эту плоскость по прямой, проходящей через точку O и перпендикулярной этой плоскости. Таким образом, точка O лежит на высотах треугольника ABC, и, следовательно, на их пересечении.
Далее, заметим, что точка O равноудалена от вершин треугольника ABC, так как SA = SB = SC. Это означает, что точка O лежит на перпендикуляре, проведенном из середины отрезка BC (точка M) к прямой, проходящей через вершину A и перпендикулярной стороне BC. Аналогично, точка O лежит на перпендикулярах, проведенных из середин отрезков AB и AC к соответствующим сторонам треугольника.
Таким образом, точка O является центром окружности, описанной около треугольника ABC, так как она равноудалена от вершин треугольника и лежит на пересечении его высот.
