Вопрос школьника
Отрезок, соединивший середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, разделил его площадь пополам. Докажите, что этот четырёхугольник — трапеция.
Ответ от учителя
Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, и $M$ и $N$ — середины противоположных сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Предположим, что отрезок $MN$ делит четырехугольник на две равные части.
Так как $M$ и $N$ — середины сторон, то $MN$ параллельно $AB$ и $CD$. Пусть $P$ и $Q$ — точки пересечения $MN$ с $BC$ и $AD$ соответственно.
Так как $MN$ делит четырехугольник на две равные части, то площадь треугольника $ABM$ равна площади треугольника $CDN$. Также площадь треугольника $BPC$ равна площади треугольника $DQA$, так как они имеют одинаковую высоту и основания $BP$ и $AQ$ равны соответственно.
Таким образом, площадь четырехугольника $ABCD$ равна сумме площадей треугольников $ABM$, $CDN$, $BPC$ и $DQA$. Поскольку площадь треугольников $ABM$ и $CDN$ равна, а площадь треугольников $BPC$ и $DQA$ равна, то площадь четырехугольника $ABCD$ равна удвоенной площади трапеции $ABCD$.
Таким образом, мы доказали, что площадь четырехугольника $ABCD$ равна удвоенной площади трапеции $ABCD$. Следовательно, четырехугольник $ABCD$ является трапецией.
