Вопрос школьника
Отрезок в 36 см разделен на четыре не равные друг другу части. Расстояние между серединами крайних частей равно 30 см. Найдите расстояние между серединами средних частей
Ответ от учителя
Пусть отрезок разделен на четыре части длинами a, b, c и d, причем a ≠ b ≠ c ≠ d. Тогда сумма длин этих частей равна 36 см:
a + b + c + d = 36
Пусть M1 и M4 – середины крайних частей, а M2 и M3 – середины средних частей. Тогда по условию задачи:
M1M4 = 30
Мы хотим найти расстояние между серединами средних частей M2M3. Заметим, что M1M2 = M3M4 = (a + b) / 2 и M2M4 = (b + c) / 2. Тогда:
M1M3 = M1M2 + M2M4 + M4M3 = (a + b) / 2 + (b + c) / 2 = (a + 2b + c) / 2
Таким образом, нам нужно найти выражение (a + 2b + c) / 2. Для этого воспользуемся еще одним уравнением, связывающим середины отрезков. А именно, середина отрезка делит его на две равные части:
M1M2 = M2M3 = M3M4
Тогда:
(a + b) / 2 = (b + c) / 2
a + b = b + c
a = c
Таким образом, мы получили, что первая и третья части отрезка равны. Пусть их длина равна x, а вторая и четвертая части имеют длины y и z соответственно. Тогда:
x + y + x + z = 36
2x + y + z = 36
Также из условия задачи мы знаем, что:
2x + y = 30
Вычтем второе уравнение из первого:
z — y = 6
Теперь мы можем выразить z через y:
z = y + 6
Также мы можем выразить x через y:
2x = 30 — y
x = (30 — y) / 2
Теперь мы можем выразить искомое расстояние M1M3 через y:
M1M3 = (a + 2b + c) / 2 = (x + y + y + z) / 2 = (3y + 6) / 2 = 1.5y + 3
Осталось найти значение y. Для этого решим систему уравнений:
2x + y = 30
2x + y + z = 36
Подставим выражение для z:
2x + y + y + 6 = 36
3y + 2x = 30
3y + 2(30 — y) = 30
y = 6
Таким образом, искомое расстояние M1M3 равно:
M1M3 = 1.5y + 3 = 1.5 * 6 + 3 = 12
Ответ: расстояние между серединами средних частей равно 12 см.
