Вопрос школьника
Отрезок ВК — биссектриса равнобедренного треугольника ABC, проведенная к основанию АС. Найдите АК, если АС = 46 см.
Ответ от учителя
Поскольку отрезок ВК является биссектрисой треугольника ABC, то он делит угол BAC на две равные части. Таким образом, угол BAK равен углу CAK, а значит, треугольник ABK равнобедренный.
Пусть BK = x, тогда AK = x, так как треугольник ABK равнобедренный. Также из условия задачи известно, что AC = 46 см.
Рассмотрим треугольник ABC. Так как он равнобедренный, то BC = AC = 46 см. Также из свойств равнобедренного треугольника известно, что медиана, проведенная к основанию, делит основание пополам. Значит, BM = MC = 23 см.
Теперь рассмотрим треугольник ABK. Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника ABK получаем:
AK^2 + BK^2 = AB^2
Так как треугольник ABK равнобедренный, то AB = 2BK = 2x. Подставляем это в уравнение:
AK^2 + x^2 = (2x)^2
AK^2 + x^2 = 4x^2
AK^2 = 3x^2
Теперь рассмотрим треугольник AKC. Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника AKC получаем:
AK^2 + AC^2 = CK^2
Подставляем AK^2 = 3x^2 и AC = 46:
3x^2 + 46^2 = CK^2
CK^2 = 3x^2 + 2116
Так как BM = MC = 23 см, то CK = 2BM + BK = 46 + x. Подставляем это в уравнение:
(46 + x)^2 = 3x^2 + 2116
2116 + 92x + x^2 = 3x^2 + 2116
2x^2 — 92x = 0
2x(x — 46) = 0
x = 0 или x = 46
Так как отрезок BK не может быть равен нулю, то x = 46. Значит, AK = x = 46 см. Ответ: АК = 46 см.
