Вопрос школьника
Отрезок ВК — высота, проведенная к стороне AD равнобедренного треугольника с основанием BD, М — точка пересечения высот АО и ВК. Вычислите длину отрезка MD, если ВК = 8 см и АК : KD = 1: 2.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойства высот и равнобедренного треугольника.
По определению высоты, отрезок ВК является перпендикуляром к стороне AD. Также, по свойству равнобедренного треугольника, стороны AB и BD равны между собой.
Рассмотрим треугольник АКВ. По условию, АК : KD = 1 : 2, то есть АК = 2KD. Также, по теореме Пифагора, ВК^2 = АК^2 + АВ^2. Подставляя АК = 2KD и АВ = BD/2 (так как треугольник равнобедренный), получаем:
8^2 = (2KD)^2 + (BD/2)^2
64 = 4K^2D^2 + BD^2/4
256 = 16K^2D^2 + BD^2
256 = 16K^2D^2 + 4K^2D^2
256 = 20K^2D^2
K^2D^2 = 12.8
KD = √12.8 ≈ 3.58
Теперь рассмотрим треугольник АМД. Отрезок АМ является высотой, а отрезок ВК — медианой, которая делит сторону AD пополам. Значит, точка М является серединой отрезка АО.
Таким образом, отрезок MD равен половине отрезка АО. Найдем длину отрезка АО, используя теорему Пифагора для треугольника АВО:
АО^2 = АВ^2 + ВО^2
АО^2 = (BD/2)^2 + (AK + VK)^2
АО^2 = (BD/2)^2 + (3KD)^2
АО^2 = BD^2/4 + 9K^2D^2
АО^2 = BD^2/4 + 9(12.8)
АО^2 = BD^2/4 + 115.2
Так как треугольник равнобедренный, то BD = 2AB. Подставляя это значение, получаем:
АО^2 = (2AB)^2/4 + 115.2
АО^2 = AB^2/2 + 115.2
Но мы знаем, что AB = BD/2, поэтому:
АО^2 = (BD/4) + 115.2
АО^2 = BD^2/16 + 115.2
АО^2 = 17.28 + 115.2
АО^2 = 132.48
АО = √132.48 ≈ 11.51
Таким образом, MD = АО/2 = 11.51/2 = 5.76 см.
Ответ: длина отрезка MD равна 5.76 см.
