Вопрос школьника
Отрезок ВО — медиана треугольника ABC, АО = ВО = СО = а, угол BAC = 60°. Найдите расстояние между прямой ВС и прямой, которая проходит через точку О и параллельна прямой ВС.
Ответ от учителя
Для начала, построим треугольник ABC с заданными условиями:
Так как отрезок ВО является медианой треугольника ABC, то он делит сторону BC пополам и перпендикулярен ей. Также, так как угол BAC = 60°, то треугольник ABC является равносторонним, а значит, все его стороны равны между собой и равны а.
Теперь рассмотрим прямую, проходящую через точку О и параллельную прямой ВС. Так как эти прямые параллельны, то у них нет общих точек, а значит, расстояние между ними можно найти как расстояние от точки О до прямой ВС.
Для этого нам нужно найти высоту треугольника ВОС, опущенную на сторону ВС. Обозначим эту высоту как h.
Так как треугольник ВОС является равнобедренным, то высота h будет также являться медианой и биссектрисой этого треугольника. Значит, она делит угол ВОС пополам и перпендикулярна стороне ВС.
Так как угол ВОС равен 60° (так как треугольник ABC равносторонний), то угол ВОС/2 равен 30°. Также, угол ВОС/2 и угол ВОО’ (где О’ — середина стороны ВС) являются смежными и дополняют друг друга до 90°. Значит, угол ВОО’ равен 60°.
Так как треугольник ВОО’ является равносторонним, то ОО’ = ВО/2 = а/2. Также, угол ВОО’ равен 60°, а значит, треугольник ВОО’ является прямоугольным. Значит, мы можем найти высоту ОО’ как h = О’С = О’В = (а/2) * √3.
Теперь мы можем найти расстояние между прямой ВС и прямой, проходящей через точку О и параллельной ВС, как расстояние от точки О до стороны ВС, то есть как h = (а/2) * √3.
Итак, мы нашли, что расстояние между прямой ВС и прямой, проходящей через точку О и параллельной ВС, равно (а/2) * √3.
