Вопрос школьника
Отрезок ВО — высота равнобедренного треугольника ABC. Точки К и F лежат на боковых сторонах АВ и ВС соответственно так, что KF ⊥ ВО. Точки D и Е лежат на основании АС так, что KD || ВО и FE || ВО. Верно ли, что четырехугольник DKFE является прямоугольником (рис. 31, б)?
Ответ от учителя
Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства равнобедренного треугольника и параллелограмма.
Из условия задачи следует, что треугольник ABC является равнобедренным, то есть AB = AC. Также известно, что отрезок ВО является высотой этого треугольника, то есть перпендикулярен основанию АС и проходит через вершину А.
Таким образом, мы можем заключить, что треугольник ВОА является прямоугольным, так как высота ВО перпендикулярна к основанию АС и проходит через вершину А.
Далее, из условия задачи следует, что отрезки KD и FE параллельны отрезку ВО. Так как ВО является высотой треугольника ABC, то отрезки KD и FE также являются высотами треугольников ABD и CBE соответственно.
Таким образом, мы можем заключить, что треугольники ABD и CBE являются равнобедренными, так как их боковые стороны KD и FE являются высотами и перпендикулярны к основаниям AB и BC соответственно.
Из свойств равнобедренного треугольника следует, что углы при основаниях этих треугольников равны между собой. Таким образом, мы можем заключить, что углы АBD и CBE равны между собой.
Так как отрезки KD и FE параллельны отрезку ВО, то углы АКД и ВЕС также равны между собой.
Теперь рассмотрим четырехугольник DKFE. Из свойств параллелограмма следует, что противоположные стороны этого четырехугольника параллельны между собой и равны по длине.
Так как отрезки KD и FE являются высотами равнобедренных треугольников ABD и CBE соответственно, то они равны по длине. Также из предыдущих рассуждений следует, что углы АКД и ВЕС равны между собой.
Таким образом, мы можем заключить, что четырехугольник DKFE является прямоугольником, так как у него противоположные стороны параллельны и равны по длине, а углы между этими сторонами равны между собой.
Ответ: да, четырехугольник DKFE является прямоугольником.
