Вопрос школьника
Периметр четырёхугольника ABCD равен 84 дм. Чему равна длина стороны АХ>, если АВ = 15 дм, ВС = 31 дм, DC = 16 дм?
Ответ от учителя
Для решения задачи нам необходимо использовать свойство, что сумма длин противоположных сторон четырехугольника равна его периметру. Таким образом, мы можем записать:
AB + CD + BC + AD = 84
Заметим, что сторона АХ является диагональю четырехугольника ABCD, которая делит его на два треугольника: ABD и BCD. Мы можем использовать теорему Пифагора для каждого из этих треугольников, чтобы выразить длину диагонали АХ через известные стороны:
ABD: AH^2 = AD^2 + DH^2
BCD: CH^2 = CD^2 + DH^2
Сложим эти два уравнения и подставим известные значения:
AH^2 + CH^2 = AD^2 + CD^2 + 2DH^2
AH^2 + CH^2 = AB^2 + BC^2
AB = 15, BC = 31, CD = 16, AD = AB + CD = 31
AH^2 + CH^2 = 15^2 + 31^2 = 1226
AH^2 + CH^2 = 16^2 + 31^2 = 1137
Сложим эти два уравнения и получим:
2AH^2 + 2CH^2 = 2363
AH^2 + CH^2 = 1181.5
Теперь мы можем выразить длину диагонали АХ через известные стороны:
AH^2 + CH^2 + 2AC^2 = AC^2 + AB^2 + BC^2 + CD^2 + AD^2
2AC^2 = 84 — AB — BC — CD — AD + AH^2 + CH^2
2AC^2 = 84 — 15 — 31 — 16 — 31 + 1181.5
2AC^2 = 1192.5
AC^2 = 596.25
AC = 24.4
Таким образом, длина стороны АХ равна 24.4 дм.
