Вопрос школьника
Периметр параллелограмма ABCD равен 18 см. Вычислите длины сторон параллелограмма, если угол ADB = 90° и угол ABC = 120°.
Ответ от учителя
Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон. Обозначим длину стороны AB через a, а длину стороны BC через b. Так как угол ADB = 90°, то сторона AD является высотой параллелограмма, опущенной на сторону BC. Обозначим длину этой высоты через h.
Так как угол ABC = 120°, то угол BCD = 60°. Также из свойств параллелограмма следует, что угол ABD = BCD = 60°. Тогда угол ADB = 180° — 60° — 90° = 30°.
Из прямоугольного треугольника ADB можно выразить длину высоты h через стороны AD и BD:
h = AD * sin(ADB) = AD * sin(30°) = AD / 2
Так как AD = BC, то h = BC / 2.
Теперь можно записать уравнение на периметр параллелограмма:
2a + 2b = 18
Также из свойств параллелограмма следует, что a = CD и b = AB.
Из треугольника BCD можно выразить длину стороны BC через сторону CD и угол BCD:
BC = CD / cos(60°) = 2CD
Тогда уравнение на периметр принимает вид:
2CD + 2AB = 18
Из треугольника ABD можно выразить длину стороны AB через стороны AD и BD:
AB^2 = AD^2 + BD^2 = (BC/2)^2 + (CD)^2
AB^2 = (CD^2 + BC^2/4)
AB^2 = (CD^2 + 4CD^2)
AB^2 = 5CD^2
Аналогично, из треугольника BCD можно выразить длину стороны CD через сторону BC и угол BCD:
CD = BC / 2sin(60°) = BC / √3
Тогда уравнение на периметр принимает вид:
2AB + 4CD/√3 = 18
Заменяем AB^2 на 5CD^2:
2√5CD + 4CD/√3 = 18
Упрощаем:
√5CD + 2CD/√3 = 9
Переносим все слагаемые с CD на одну сторону:
(√5 + 2/√3)CD = 9
Выражаем CD:
CD = 9 / (√5 + 2/√3) ≈ 2,77 см
Тогда:
BC = 2CD ≈ 5,54 см
h = BC / 2 ≈ 2,77 см
AB^2 = 5CD^2 ≈ 38,27
AB ≈ 6,18 см
Таким образом, длины сторон параллелограмма равны:
AB ≈ 6,18 см
BC ≈ 5,54 см
CD ≈ 2,77 см
AD ≈ 2,77 см
Для проверки можно убедиться, что сумма длин всех сторон равна 18 см:
2AB + 2CD = 2 * 6,18 см + 2 * 2,77 см ≈ 18 см
