Вопрос школьника
Периметр параллелограмма ABCD равен 36 см. Длина одной из сторон на 2 см больше длины другой. Вычислите расстояние от вершины В до прямой AD, если угол ADC = 150°.
Ответ от учителя
Периметр параллелограмма ABCD равен сумме длин его сторон. Обозначим длину более длинной стороны через х, тогда длина другой стороны будет равна х-2. Таким образом, периметр равен 2х+2(х-2) = 4х-4. Из условия задачи известно, что периметр равен 36 см, следовательно, 4х-4 = 36, откуда получаем х = 10.
Теперь рассмотрим треугольник ABD. Угол ADC = 150°, следовательно, угол BDC = 30° (так как сумма углов треугольника равна 180°). Также из параллельности сторон AB и CD следует, что угол ABD = угол BDC = 30°.
Теперь мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения расстояния от вершины В до прямой AD. Обозначим это расстояние через h. Тогда, применяя теорему синусов к треугольнику ABD, получаем:
h/sin(30°) = AB/sin(150°)
AB = AD — BD = AD — BC = AD — AB
AB + AB = AD
2AB = AD
AB = AD/2
Таким образом, мы нашли длину стороны AB. Теперь, применяя теорему косинусов к треугольнику ABD, получаем:
h² = AB² + AD² — 2AB*AD*cos(30°)
h² = (AD/2)² + AD² — 2(AD/2)*AD*cos(30°)
h² = (5/4)AD² — (5/4)AD²*cos(30°)
h² = (5/4)AD²(1 — cos(30°))
h = √(5/4)AD√(1 — cos(30°))
h = √(5/4)AD√(3/4)
h = √15/8 AD
Таким образом, расстояние от вершины В до прямой AD равно √15/8 AD. Подставляя значение AD = 20 см (так как периметр равен 36 см, то AB + BC = 18 см, а AB = BC = (18/2) см = 9 см, а AD = AB + BD = 9 см + 11 см = 20 см), получаем:
h = √15/8 * 20 см ≈ 5,92 см
Ответ: расстояние от вершины В до прямой AD равно примерно 5,92 см.
