Вопрос школьника
Периметр параллелограмма ABCD равен 44 см, длина стороны АВ равна 10 см, a угол ABC = 150°. Вычислите площадь четырехугольника ABCF, вершина F которого лежит на прямой AD так, что отрезок CF параллелен диагонали BD параллелограмма.
Ответ от учителя
Периметр параллелограмма ABCD равен сумме длин его сторон: AB + BC + CD + DA. Так как длина стороны AB равна 10 см, то остальные стороны в сумме дают 44 — 10 = 34 см.
Так как угол ABC = 150°, то угол BCD = 180° — 150° = 30°. Также из свойств параллелограмма следует, что угол ACD = угол BCD = 30°.
Рассмотрим треугольник ACD. Он равнобедренный, так как сторона AD равна стороне CD, а углы ACD и ADC равны по 30°. Значит, высота треугольника, опущенная на сторону CD, делит ее на две равные части.
Обозначим точку пересечения высоты и стороны CD буквой E. Тогда CE = ED = CD/2 = (44 — 10)/2 = 17 см.
Так как отрезок CF параллелен диагонали BD, то треугольники BCF и ACD подобны. Значит, соотношение сторон в этих треугольниках равно:
BC/AC = CF/CD
Так как BC = AD и AC = CD/2, то:
AD/(CD/2) = CF/CD
CF = (AD/CD) * CD/2 = AD/2
Таким образом, отрезок CF равен половине стороны AD.
Площадь четырехугольника ABCF равна сумме площадей треугольников ABC и CDF. Площадь треугольника ABC равна:
S(ABC) = (1/2) * AB * BC * sin(ABC) = (1/2) * 10 * CE * sin(150°) = 25/4 см^2
Площадь треугольника CDF равна:
S(CDF) = (1/2) * CD * DF * sin(CDF) = (1/2) * CD * CF * sin(ACD) = (1/2) * CD * AD/2 * sin(30°) = CD^2/8 = 289/8 см^2
Таким образом, площадь четырехугольника ABCF равна:
S(ABCF) = S(ABC) + S(CDF) = 25/4 + 289/8 = 337/8 см^2
Ответ: площадь четырехугольника ABCF равна 337/8 см^2.
