Вопрос школьника
Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность, на 3 см меньше периметра правильного четырёхугольника, описанного около этой окружности. Вычислите радиус окружности.
Ответ от учителя
Пусть сторона правильного шестиугольника равна a, а радиус описанной окружности равен R. Тогда периметр шестиугольника равен 6a, а периметр описанного четырехугольника равен 8R, так как он состоит из четырех равных дуг окружности.
Из условия задачи имеем уравнение:
6a = 8R — 3
Так как в правильном шестиугольнике все стороны равны, то его можно разбить на 6 равносторонних треугольников, каждый из которых является равнобедренным. Рисуем высоту, которая делит треугольник на два равнобедренных, и получаем прямоугольный треугольник со сторонами a/2, R и R — a/2.
Применяем теорему Пифагора:
(R — a/2)^2 + (a/2)^2 = R^2
Раскрываем скобки и упрощаем:
R^2 — aR + a^2/4 + a^2/4 = R^2
a^2 — 2aR + R^2 = 0
Находим корни этого квадратного уравнения:
a = R ± R√3
Так как сторона шестиугольника не может быть меньше радиуса описанной окружности, то выбираем положительный корень:
a = R + R√3
Подставляем это выражение для a в уравнение, полученное из условия задачи:
6(R + R√3) = 8R — 3
Решаем уравнение относительно R:
R = 3(2 + √3) см
Ответ: радиус описанной окружности равен 3(2 + √3) см.
