Вопрос школьника
Периметр прямокутника дорівнює 60 см. Якщо одну його сторону зменшити на 5 см, а другу збільшити на 3 см, то його площа зменшаться на 21 см2. Знайдіть сторони даного прямокутника.
Ответ от учителя
Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Тогда по условию задачи имеем систему уравнений:
$$begin{cases}
2a + 2b = 60 \
ab — (a-5)(b+3) = 21
end{cases}$$
Разберемся с первым уравнением. Оно означает, что периметр прямоугольника равен 60 см. Периметр — это сумма длин всех сторон, а в прямоугольнике две пары равных сторон, поэтому мы можем записать:
$$2a + 2b = 2(a+b) = 60$$
Отсюда получаем, что $a+b=30$.
Теперь разберемся со вторым уравнением. Оно означает, что если одну сторону прямоугольника уменьшить на 5 см, а другую увеличить на 3 см, то площадь прямоугольника уменьшится на 21 см$^2$. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$$ab — (a-5)(b+3) = ab — ab + 3a — 5b — 15 = 3a — 5b — 15 = -21$$
Отсюда получаем, что $3a — 5b = -6$.
Теперь мы имеем два уравнения с двумя неизвестными:
$$begin{cases}
a+b=30 \
3a-5b=-6
end{cases}$$
Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $b$ через $a$: $b=30-a$. Подставим это выражение во второе уравнение:
$$3a — 5(30-a) = -6$$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$$8a — 150 = -6$$
Отсюда получаем, что $a=19,5$. Теперь найдем $b$:
$$b=30-a=30-19,5=10,5$$
Итак, стороны прямоугольника равны 19,5 см и 10,5 см.
