Вопрос школьника
Периметр прямоугольника ABCD равен 18 см, а длины его сторон относятся как 2 : 1 (рис. 83, а). Точки О и F лежат на прямой AD так, что отрезки BF и СО параллельны диагоналям АС и BD прямоугольника соответственно. Вычислите площадь четырехугольника FBCO.
Ответ от учителя
Пусть стороны прямоугольника равны $2x$ и $x$ соответственно. Тогда периметр равен $2(2x+x)=6x=18$, откуда $x=3$ см. Значит, стороны прямоугольника равны 6 см и 3 см.
Так как $BFparallel AC$ и $BCperp AC$, то $BFperp FC$. Аналогично, $COperp FO$. Значит, $FBCO$ — прямоугольник.
Диагонали прямоугольника равны $AB=sqrt{6^2+3^2}=3sqrt{5}$ см и $BD=sqrt{3^2+6^2}=3sqrt{5}$ см. Так как $BFparallel AC$ и $BCperp AC$, то треугольники $ABC$ и $BFC$ подобны с коэффициентом $frac{BF}{AB}=frac{3}{3sqrt{5}}=frac{sqrt{5}}{5}$. Значит, $FC=frac{sqrt{5}}{5}cdot AC=frac{sqrt{5}}{5}cdot 6=frac{6sqrt{5}}{5}$ см.
Аналогично, треугольники $ABD$ и $OCB$ подобны с коэффициентом $frac{CO}{BD}=frac{3}{3sqrt{5}}=frac{sqrt{5}}{5}$. Значит, $OC=frac{sqrt{5}}{5}cdot BD=frac{sqrt{5}}{5}cdot 3=frac{3sqrt{5}}{5}$ см.
Таким образом, площадь прямоугольника $FBCO$ равна $FCcdot OC=frac{6sqrt{5}}{5}cdotfrac{3sqrt{5}}{5}=frac{54}{25}$ см$^2$. Ответ: $frac{54}{25}$ см$^2$.
