Вопрос школьника
Периметр прямоугольника равен 80 см. Если его длину увеличить на 4 см, а ширину уменьшить на 4 см, то его площадь уменьшится на 64 см2. Найдите длину и ширину прямоугольника.
Ответ от учителя
Пусть длина прямоугольника равна $x$ см, а ширина равна $y$ см. Тогда по условию задачи:
$2x + 2y = 80$ (периметр равен 80 см)
$x + 4$ и $y — 4$ (длину увеличили на 4 см, а ширину уменьшили на 4 см)
$x(y-64) = xy — 64x$ (площадь уменьшилась на 64 см2)
Раскроем скобки во втором уравнении:
$2x + 2y = 80$
$x + y = 40$
$x = 40 — y$
$(x+4)(y-4) = xy — 64$
$(40-y+4)(y-4) = (40-y)y — 64$
$(36-y)(y-4) = y(40-y) — 64$
$-y^2 + 16y + 128 = 0$
$y^2 — 16y — 128 = 0$
$(y-8)(y-(-16)) = 0$
$y = 8$ или $y = -16$
Так как ширина не может быть отрицательной, то $y = 8$. Подставим это значение в первое уравнение:
$2x + 2y = 80$
$2x + 2cdot8 = 80$
$2x = 64$
$x = 32$
Таким образом, длина прямоугольника равна 32 см, а ширина равна 8 см.
