Вопрос школьника
Периметр прямоугольного треугольника равен 90 см, а радиус вписанной в него окружности равен 4 см. Вычислите длины катетов этого треугольника.
Ответ от учителя
Периметр прямоугольного треугольника равен сумме длин его сторон:
P = a + b + c,
где a и b — катеты, c — гипотенуза.
Так как треугольник прямоугольный, то радиус вписанной окружности равен половине суммы катетов минус половина гипотенузы:
r = (a + b — c)/2.
Выразим из этого уравнения гипотенузу:
c = a + b — 2r.
Теперь подставим выражение для гипотенузы в формулу для периметра:
P = a + b + a + b — 2r,
P = 2a + 2b — 2r.
Из этого уравнения найдем сумму катетов:
a + b = (P + 2r)/2.
Подставим известные значения:
a + b = (90 + 2*4)/2 = 49.
Так как треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора:
c^2 = a^2 + b^2.
Выразим из этого уравнения гипотенузу:
c = sqrt(a^2 + b^2).
Теперь мы знаем сумму катетов и можем решить систему уравнений:
a + b = 49,
c = sqrt(a^2 + b^2).
Решение этой системы дает значения катетов:
a = 15,
b = 34.
Таким образом, длины катетов прямоугольного треугольника равны 15 см и 34 см.
