Вопрос школьника
Периметр равнобедренного треугольника равен 25см, разность двух сторон равна 4 см, а один из его внешних углов — острый. Найдите стороны треугольника
Ответ от учителя
Пусть сторона равнобедренного треугольника равна $a$, а основание равно $b$. Так как треугольник равнобедренный, то $a=a$, $b=b$, и $c=a$, где $c$ — третья сторона треугольника.
Так как периметр равнобедренного треугольника равен 25 см, то $a+b+c=25$.
Также известно, что разность двух сторон равна 4 см, то есть $a-b=4$.
Рассмотрим теперь внешний острый угол треугольника. Он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с данным внешним углом. Так как треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, и каждый из них равен $(180^circ — alpha)/2$, где $alpha$ — внешний острый угол. Тогда сумма двух таких углов равна $(180^circ — alpha)$. С другой стороны, угол при вершине равен $alpha$, и поэтому сумма всех углов треугольника равна $180^circ + alpha$. Таким образом, получаем уравнение:
$$(180^circ — alpha) + (180^circ — alpha) + alpha = 180^circ + alpha,$$
которое можно упростить до $2alpha = 180^circ$, откуда $alpha = 90^circ$.
Таким образом, мы получили, что треугольник является прямоугольным. Из уравнения $a-b=4$ можно выразить $b$ через $a$: $b=a-4$. Тогда из уравнения $a+b+c=25$ получаем:
$$a + (a-4) + a = 25,$$
откуда $a=9$. Тогда $b=a-4=5$, и третья сторона $c=a=9$.
Итак, стороны треугольника равны: $a=9$ см, $b=5$ см, $c=9$ см.
