Вопрос школьника
Периметр равнобедренного треугольника равен 35, один из его внешних углов острый. Найдите стороны треугольника, учитывая, что одна из них больше другой на 5.
Ответ от учителя
Пусть сторона равнобедренного треугольника, которая больше другой на 5, равна x + 5, а меньшая сторона равна x. Так как треугольник равнобедренный, то третья сторона также равна x.
Так как один из внешних углов острый, то он равен сумме двух внутренних углов, то есть 180 градусов минус угол при основании треугольника. Угол при основании равен 180 градусов минус угол в вершине, который равен 180 градусов деленный на количество вершин, то есть 60 градусов.
Таким образом, внешний угол равен 180 градусов — (180 градусов — 60 градусов) = 60 градусов.
Так как треугольник равнобедренный, то угол при основании равен 60 градусов, а угол в вершине равен 180 градусов минус два угла при основании, то есть 60 градусов.
Теперь мы можем использовать теорему косинусов для нахождения сторон треугольника:
(x + 5)^2 = x^2 + x^2 — 2x^2cos(60 градусов)
x^2 + 10x + 25 = 2x^2(0.5)
x^2 + 10x + 25 = x^2
10x = -25
x = -2.5
Так как стороны треугольника не могут быть отрицательными, то мы делаем вывод, что ошибка где-то в расчетах. Возможно, в угле в вершине треугольника, который мы нашли, допущена ошибка. Если угол в вершине равен 120 градусам, то все расчеты будут верными:
(x + 5)^2 = x^2 + x^2 — 2x^2cos(120 градусов)
x^2 + 10x + 25 = 2x^2(-0.5)
x^2 + 10x + 25 = -x^2
2x^2 + 10x + 25 = 0
x^2 + 5x + 12.5 = 0
D = 5^2 — 4*1*12.5 = 25 — 50 = -25
Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней. Значит, стороны треугольника не могут быть найдены.
