Вопрос школьника
Периметр ромба ABCD равен 40 см, а длина его диагонали АС равна 16 см. Вычислите высоту BF ромба (рис. 94, б).
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобятся две формулы для нахождения периметра и высоты ромба:
1. Периметр ромба равен удвоенной сумме длин его сторон: P = 2(a + b), где a и b — длины сторон ромба.
2. Высота ромба — это расстояние между противоположными сторонами, проходящее через центр ромба. Высота ромба равна произведению длины одной диагонали на синус угла между этой диагональю и одной из сторон ромба: h = d*sin(α), где d — длина диагонали, α — угол между диагональю и одной из сторон ромба.
На рисунке 94, б видно, что диагональ АС разбивает ромб на два равнобедренных треугольника ABC и CDA. Пусть сторона ромба равна a, тогда стороны треугольников ABC и CDA равны a/2. Из свойств равнобедренного треугольника следует, что угол между диагональю АС и стороной AB равен 45 градусов.
Теперь мы можем найти длину стороны ромба и высоту:
1. Периметр ромба равен 40 см, значит, 2(a + b) = 40. Так как стороны ромба равны между собой, то a = b. Подставляем a вместо b: 2(a + a) = 40, откуда получаем a = 10 см.
2. Высота ромба равна произведению длины диагонали АС на синус угла между диагональю и одной из сторон ромба. Угол между диагональю АС и стороной AB равен 45 градусов, поэтому sin(45) = √2/2. Длина диагонали АС равна 16 см. Подставляем значения в формулу: h = 16*√2/2 = 8√2 см.
Таким образом, высота ромба BF равна 8√2 см.
