Вопрос школьника
Периметр трапеции AMNC равен 22 см (рис. 286), периметр треугольника ABC равен 24 см, периметр треугольника MBN равен 8 см. Найдите: а) MN; б) AC.
Ответ от учителя
а) Для начала найдем длину отрезка MC, который является основанием трапеции. Периметр трапеции равен сумме длин ее сторон: AM + MC + NC + AB. Заметим, что AB = MN, так как это параллельные стороны трапеции. Тогда AM + MC + NC + MN = 22. Также заметим, что AM + MC = AC, так как это сумма боковых сторон треугольника AMC. Тогда AC + NC + MN = 22. Аналогично, периметр треугольника ABC равен сумме длин его сторон: AB + AC + BC = 24. Заметим, что BC = BN + NC, так как это сумма боковых сторон треугольника BNC. Тогда AB + AC + BN + NC = 24. Мы получили две уравнения с тремя неизвестными (AC, MN, NC), но заметим, что второе уравнение можно переписать в виде AB + AC + NC + BN = 24. Сравнивая это уравнение с уравнением AC + NC + MN = 22, видим, что оно отличается только на наличие слагаемого BN. Значит, чтобы избавиться от неизвестной NC, мы можем вычесть из второго уравнения первое: AB + AC + BN = 2. Теперь мы имеем два уравнения с двумя неизвестными (AC и MN): AC + NC + MN = 22 и AB + AC + BN = 2. Выразим из первого уравнения NC: NC = 22 — AC — MN. Подставим это выражение во второе уравнение: AB + AC + BN = 2, получим AB + AC + BN = 22 — NC + BN, то есть AB + AC = 22 — NC. Теперь выразим из этого уравнения MN: MN = 22 — AC — AB = 22 — AC — MN (так как AB = MN). Получаем уравнение 2MN + AC = 22. Теперь можем выразить MN: MN = (22 — AC) / 2. Ответ: MN = (22 — AC) / 2.
б) Из уравнения AC + NC + MN = 22 выразим NC: NC = 22 — AC — MN. Подставим это выражение в уравнение AB + AC + BN = 2: AB + AC + BN = 2, то есть AB + AC + BN = 22 — NC + BN. Перенесем все слагаемые с BN на одну сторону: AB + AC — NC = -20. Заметим, что AB = MN, поэтому можем переписать это уравнение в виде MN + AC — NC = -20. Теперь выразим из уравнения AC + NC + MN = 22 переменную NC: NC = 22 — AC — MN. Подставим это выражение в предыдущее уравнение: MN + AC — (22 — AC — MN) = -20. Упростим: 2MN + 2AC = 2. Тогда AC = 1 — MN. Подставим это выражение в уравнение 2MN + AC = 22: 2MN + 1 — MN = 22. Получаем уравнение MN = 21. Тогда AC = 1 — MN = -20. Ответ: AC = -20 (невозможный ответ, значит, ошибка где-то в решении).
