Вопрос школьника
Период собственных колебаний железнодорожного вагона Т = 1, 25 с. На стыках рельс вагон испытывает ударные возбуждения, приводящие к возникновению вынужденных колебаний. При какой скорости поезда амплитуда колебаний вагона будет максимальной если длина рельса l = 25 м?
Ответ от учителя
Период собственных колебаний железнодорожного вагона можно вычислить по формуле:
T = 2π√(m/k),
где m — масса вагона, k — жесткость пружин, которыми вагон закреплен на колесах.
Для решения задачи нам также понадобится знание о том, что при движении поезда по рельсам возникают ударные возбуждения, которые могут приводить к вынужденным колебаниям вагона. Частота этих колебаний равна частоте колебаний рельсов, которая определяется длиной рельса и скоростью поезда:
f = v/2l,
где v — скорость поезда.
Амплитуда вынужденных колебаний вагона будет максимальной, когда частота вынужденных колебаний будет равна частоте собственных колебаний вагона. Такое явление называется резонансом.
Итак, для того чтобы найти скорость поезда, при которой амплитуда колебаний вагона будет максимальной, нужно найти частоту собственных колебаний вагона и частоту колебаний рельсов при разных скоростях поезда, а затем выбрать ту скорость, при которой эти частоты будут равны.
Для начала найдем жесткость пружин, которыми вагон закреплен на колесах. Для этого воспользуемся формулой:
k = m(2π/T)^2,
где m — масса вагона, T — период собственных колебаний.
Подставляя данные из условия, получаем:
k = m(2π/1,25)^2 = 16m.
Теперь найдем частоту колебаний рельсов при разных скоростях поезда. Для этого воспользуемся формулой:
f = v/2l,
где v — скорость поезда, l — длина рельса.
Подставляя данные из условия, получаем:
f = v/50.
Теперь найдем скорость поезда, при которой частота колебаний рельсов будет равна частоте собственных колебаний вагона. То есть:
f = 1/T,
или
v/50 = 1/1,25,
откуда
v = 62,5 м/с.
Таким образом, при скорости поезда 62,5 м/с амплитуда колебаний вагона будет максимальной.
