Вопрос школьника
Перпендикуляр MH к прямой, содержащей катет AC прямоугольного треугольника ABC, пересекает гипотенузу BC в точке D. Известно, что ∠CDH = 50°, ∠CMH = 45° и ∠ABH = 10°. Найдите угол BMH.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойства перпендикуляра к прямой и свойства прямоугольного треугольника.
Из условия задачи мы знаем, что прямая, содержащая катет AC, проходит через точку H. Значит, угол ABH является прямым, так как он образуется пересечением прямой AB и прямой, проходящей через точки A и H. Также из условия задачи мы знаем, что угол ABH равен 10°.
Так как треугольник ABC прямоугольный, то угол BAC также является прямым. Значит, угол BAH равен сумме углов ABH и BAC, то есть 90° + 10° = 100°.
Так как угол CMH равен 45°, то угол HMC также равен 45°. Значит, угол MHC равен 180° — 45° — 50° = 85°.
Теперь мы можем найти угол BMD. Так как угол BAC является прямым, то угол BCA равен 90° — углу BAC, то есть 90° — 90° = 0°. Значит, прямая BC параллельна прямой, проходящей через точки A и H.
Так как MH перпендикулярна к прямой, содержащей катет AC, то она также перпендикулярна к прямой BC. Значит, угол MHD равен 90°.
Таким образом, угол BMH равен сумме углов BMD и DMH. Угол BMD равен углу BCA, то есть 0°. Угол DMH равен 180° — углу MHD — углу CDH, то есть 180° — 90° — 50° = 40°.
Итак, угол BMH равен 0° + 40° = 40°.
