Вопрос школьника
Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на её диаметр, делит диаметр на два отрезка, один из которых на 27 см больше другого. Найдите диаметр окружности, если длина перпендикуляра равна 18 см.
Ответ от учителя
Пусть диаметр окружности равен $d$, а отрезки, на которые делится диаметр перпендикуляром, равны $x$ и $x+27$ (см). Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диаметром, перпендикуляром и отрезком диаметра, получаем:
$$left(frac{d}{2}right)^2 = 18^2 + x^2$$
$$frac{d^2}{4} = 324 + x^2$$
Также из условия задачи имеем:
$$x + (x+27) = frac{d}{2}$$
$$2x + 27 = frac{d}{2}$$
$$4x + 54 = d$$
Теперь можно подставить выражение для $d$ в первое уравнение:
$$frac{(4x+54)^2}{16} = 324 + x^2$$
$$16x^2 + 432x + 2916 = 16x^2 + 576$$
$$432x = 2340$$
$$x = frac{65}{3}$$
Тогда второй отрезок равен $x+27 = frac{176}{3}$, а диаметр:
$$d = 4x + 54 = frac{326}{3} approx 108.67 text{ см}$$
Ответ: диаметр окружности равен $frac{326}{3}$ см.
