Вопрос школьника
Площадь квадрата, вписанного в окружность, равна 32 см2. Найдите площадь правильного треугольника, описанного около данной окружности.
Ответ от учителя
Для решения этой задачи нам понадобится знание о связи между радиусом описанной окружности и стороной правильного треугольника, вписанного в эту окружность. Эта связь выражается формулой:
r = a / √3,
где r — радиус описанной окружности, a — сторона правильного треугольника.
Также нам дана площадь квадрата, вписанного в эту окружность. Поскольку квадрат вписан в окружность, его диагональ равна диаметру окружности, то есть 2r. Поэтому площадь квадрата можно выразить через радиус описанной окружности:
Sквадрата = (2r)² / 2 = 2r².
Из условия задачи мы знаем, что Sквадрата = 32 см². Подставляя это значение в формулу, получаем:
2r² = 32,
r² = 16,
r = 4 см.
Теперь мы можем найти сторону правильного треугольника, используя формулу:
a = r √3.
Подставляя значение r, получаем:
a = 4 √3 см.
Наконец, площадь правильного треугольника можно найти по формуле:
Sтреугольника = a² √3 / 4.
Подставляя значение a, получаем:
Sтреугольника = (4 √3)² √3 / 4 = 16 √3 см².
Ответ: площадь правильного треугольника, описанного около данной окружности, равна 16 √3 см².
