Вопрос школьника
Площадь основания конуса равна π м2, а развертка его боковой поверхности представляет собой полукруг. Найдите площадь боковой поверхности и объем этого конуса.
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим, что такое развертка боковой поверхности конуса. Разверткой называется плоская фигура, полученная из боковой поверхности конуса путем ее разрезания и расположения в одной плоскости. В данном случае развертка представляет собой полукруг, что означает, что боковая поверхность конуса имеет форму полукругового сектора.
Площадь основания конуса равна π м2, что означает, что радиус основания равен 1 метру (так как площадь основания конуса равна πr^2, где r — радиус основания). Также известно, что боковая поверхность конуса представляет собой полукруговой сектор. Площадь полукруга равна (πr^2)/2, а площадь сектора равна (α/360)πr^2, где α — центральный угол сектора. В данном случае, так как боковая поверхность конуса представляет собой полукруг, то α = 180 градусов, и площадь боковой поверхности конуса равна (180/360)πr^2 = (1/2)π м2.
Чтобы найти объем конуса, нужно воспользоваться формулой V = (1/3)πr^2h, где r — радиус основания, h — высота конуса. Высота конуса может быть найдена с помощью теоремы Пифагора, так как боковая поверхность конуса представляет собой полукруговой сектор, а высота конуса является радиусом этого сектора. Из теоремы Пифагора следует, что h^2 = r^2 + (r/2)^2 = (5/4)r^2, откуда h = (sqrt(5)/2)r.
Таким образом, V = (1/3)πr^2h = (1/3)πr^2(sqrt(5)/2)r = (sqrt(5)/6)πr^3. Подставляя значение радиуса r = 1 метр, получаем, что объем конуса равен (sqrt(5)/6)π м3.
