Вопрос школьника
Площадь параллелограмма, градусная мера угла которого 120°, равна 40√3 см2, а разность длин его смежных сторон равна 11 см. Вычислите длины диагоналей параллелограмма.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобятся формулы для вычисления площади параллелограмма и длины его диагоналей.
Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: S = a * h, где a — длина основания параллелограмма, h — высота, опущенная на это основание. Так как у нас дана площадь параллелограмма, а угол между основанием и высотой равен 120°, то мы можем выразить длину основания через площадь и высоту: a = 2S/h = 80/√3 см.
Разность длин смежных сторон параллелограмма равна 11 см. Обозначим эти стороны через a и b. Тогда a — b = 11. Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то a = 2S/b. Подставим это выражение для a в уравнение a — b = 11 и получим: 2S/b — b = 11. Решим это уравнение относительно b:
2S/b — b = 11
2 * 40√3 / b — b = 11
80√3 / b — b = 11
80√3 — b^2 = 11b
b^2 + 11b — 80√3 = 0
Решим это квадратное уравнение:
b1,2 = (-11 ± √(11^2 + 4 * 80√3)) / 2 = (-11 ± 21√3) / 2
Так как длина стороны не может быть отрицательной, то b = (-11 + 21√3) / 2 ≈ 5,56 см.
Теперь мы можем вычислить длины диагоналей параллелограмма. Обозначим их через d1 и d2. Так как диагонали параллелограмма делятся его центральной осью пополам, то мы можем выразить длины диагоналей через длины сторон и угол между ними:
d1 = √(a^2 + b^2 — 2ab*cos(120°)) = √(a^2 + b^2 + ab) ≈ 10,77 см
d2 = √(a^2 + b^2 + 2ab*cos(120°)) = √(a^2 + b^2 — ab) ≈ 7,21 см
Ответ: длина первой диагонали равна примерно 10,77 см, а длина второй диагонали — примерно 7,21 см.
