Вопрос школьника
Площадь правильного многоугольника равна 72 см2, синус его центрального угла равен 0,8, а радиус описанной окружности равен 6 см. Найдите число сторон данного многоугольника.
Ответ от учителя
Для начала, вспомним формулу для площади правильного многоугольника:
S = (P * a) / 2,
где S — площадь многоугольника, P — периметр многоугольника, a — длина стороны многоугольника.
Так как многоугольник правильный, то все его стороны равны, а периметр можно выразить через количество сторон n:
P = n * a.
Тогда формула для площади принимает вид:
S = (n * a^2 * sin(360/n)) / 2.
Заметим, что синус центрального угла многоугольника равен синусу половины угла вписанного в окружность, то есть:
sin(360/n) = sin(180/n).
Также, радиус описанной окружности равен половине длины диагонали многоугольника, то есть:
R = a / (2 * sin(180/n)).
Теперь мы можем выразить длину стороны многоугольника через радиус описанной окружности:
a = 2 * R * sin(180/n).
Подставляя это выражение в формулу для площади, получаем:
S = (n * (2 * R * sin(180/n))^2 * sin(180/n)) / 2.
Теперь мы можем подставить известные значения и решить уравнение относительно n:
72 = (n * (2 * 6 * 0.8)^2 * 0.8) / 2,
n = 10.
Ответ: число сторон данного многоугольника равно 10.
