Вопрос школьника
Площадь правильного восьмиугольника равна S. Найдите:
а) длину описанной окружности;
б) длину дуги, стягиваемой стороной многоугольника;
в) площадь части описанного круга, лежащей вне многоугольника.
Ответ от учителя
а) Для правильного восьмиугольника радиус описанной окружности равен половине длины диагонали, а длина диагонали равна стороне умноженной на √2. Таким образом, радиус описанной окружности равен (сторона/2)√2. Площадь правильного восьмиугольника равна S = 2(1 + √2)R^2, где R — радиус описанной окружности. Решая уравнение относительно R, получаем R = √(S/2(1 + √2)). Длина описанной окружности равна 2πR, поэтому длина описанной окружности равна 2π√(S/2(1 + √2)).
б) Длина дуги, стягиваемой стороной многоугольника, равна произведению радиуса описанной окружности на угол, соответствующий этой стороне. Угол, соответствующий каждой стороне правильного восьмиугольника, равен 45 градусов (360 градусов / 8 сторон). Таким образом, длина дуги, стягиваемой стороной многоугольника, равна (сторона/2)√2 * 45 градусов = (π/4)сторона.
в) Площадь части описанного круга, лежащей вне многоугольника, равна площади описанного круга минус площадь многоугольника. Площадь описанного круга равна πR^2, где R — радиус описанной окружности. Площадь многоугольника равна S. Таким образом, площадь части описанного круга, лежащей вне многоугольника, равна πR^2 — S.
